Office365を登録すると、登録時に指定したドメイン [指定した名前].onmicrosoft.com のサブドメインが取得できます。
ですが、せっかくのOffice365ですので、独自ドメインで運用したいですね。

設定方法ですが、以下のリンクが役に立ちます。
マイクロソフト公式：Office 365 にドメインを追加する
マイクロソフト公式：Office 365 でドメイン名と DNS レコードを利用する
日々徒然さん：Office365を独自ドメインで利用する

上記の色々なWebサイトさんで画像付きの手順を解説されているので、参考にしてください。

Lyncを使う場合は設定ハードルが上がります

Lyncのプレゼンス情報やチャット機能は、多くの導入企業で「予想以上に活用できる！」との声が多いです。
しかし、Lyncを使いたいとなった場合にDNS設定でSRVレコードの設定が必須となりますが、
SRVレコードが設定可能なレンタルDNSサービスは多くありません。

お名前.comさんでSRVレコードの設定が出来るようになりました！

設定方法は後述します。

以下のリンクの様にAmazon Route53やRocketNetであれば設定可能なようです。
日々徒然さん：Office365での独自ドメインの利用（RocketNet）
サボり屋の技術メモさん：Office365を独自ドメインで使う手順

その他、ドメインレジストラやレンタルDNS設定例を紹介したBlogなどありましたらご紹介ください。
ここにリンク集として紹介させていただきたいと思います。

–閑話休題–

以下に、ざっくりとした手順を記載します（順次充実させる予定です）

■必要なもの

１．独自ドメインを契約する

２．DNSはお名前.comのレンタルDNSをそのまま利用します。

３．Office365を契約する

参考：Office365プランE1 契約手順

４．Office365から指定された確認用DNSレコードを、お名前.comに登録する。

TXTレコード

[ホスト名]を空欄に、[VALUE]に指定された文字列を追加します。※コピペ推奨
[ホスト名] が @ の場合は「なにも入力しない」という意味で良いでしょう

↓

５．Office365管理センターのドメインメニューから、[所有権の確認]を実行して正常に完了することを確認する。

新規ドメインなら、早ければ10分～15分ぐらいで確認できると思います。

５．５．ユーザーの登録

６．独自ドメイン用DNSレコードをお名前.comに登録する

CNAMEレコード

赤枠部分を[ホスト名]に入力、[VALUE]に[参照先アドレス]を入力します。

　　　　　　　　↓

MXレコード

[ホスト名]は空欄に、[VALUE]に[参照先アドレス]を入力します。

　　　　　↓

SRVレコード

それぞれ対応するところに値を入力します。
分かりづらいのは、ホスト部ですが、[名前]にドメイン名しか記載がないので、[ホスト名]は空欄のままです。

　　　　　↓

７．Office365管理画面でドメインを確認する

この画面が表示されれば完了です！！

８．メールアドレスを登録する

９．Outlook をインストールして、メールの送受信が出来ることを確認する。